整數與浮點數

整數

在寫數字的時候，表示負數很簡單，就加個負號就好了。那在電腦中該怎麼表示負數？

最簡單的方式是用最高位元來表示正負號，0 代表正，1 代表負，像是如果用 8 個位元來表示一個數， 就是 1000 0101， 就是 1000 0011，但這樣會發生一個問題，就是表示 有兩種方式：不管最高位是 1 或 0，只要其他位都是 0，這樣它就是表示 ，所以勢必需要另一個方法來有效利用空間。

補數和二補數

先用一個不那麼位元的想法來想，有 個 位元的二進位數字，介於 ，如果分一半給非負整數、另一半給負整數，有一個很簡單的方法，就是對於 的數，都分配給負數， 表示的負數就是和它模 下同餘、最大的那個負數 ，也就是 。

這樣做有一個好處，就是既然我們是在模 下做事，代表它可以套用所有模除的性質，我們只要把數字對到 的範圍裡就好。既然在電腦裡減法不方便，就都先換成用來表示負數的那個數，再相加就好了，非常方便。

回到位元的看法， 的補數定義為 ，也就是將一個二進位數字的 0、1 互換。例如：
0000 0001 的補數是 1111 1110
0101 1010 的補數是 1010 0101
在 C++ 中，~ 這個運算子就是用來做這件事情。

而 的二補數的定義是 ，也就是補數再加上 1，注意我們還是在模 下做事，也就是如果進位到超出範圍，就把超出的部分捨去，這樣就得到了一個數的二補數，例如：
0000 0001 的補數是 1111 1110，二補數是 1111 1111
0101 1010 的補數是 1010 0101，二補數是 1010 0110
0000 0000 的補數是 1111 1111，加 1 後是 1 0000 0000，二補數是 0000 0000
1000 0000 的補數是 0111 1111，二補數是 1000 0000

這就是目前最常見的電腦儲存有號（正負）整數的方式，這裡說的二補數的字面上的值，就是我們剛剛說的用同餘得出來的數字。

C++ 中常見的整數型態範圍是這樣：
（unsigned 開頭的是無號的，也就是只有 和正數，因此 位元的無號整數最大值是 ）

接下來，有個特殊狀況，就是有兩個數取二補數後會跟原本一樣，這兩個數分別是 和最小整數。 的相反數本來就是 ， 也沒有人跟它同餘；最小整數是 ，但表示的數字範圍只到 。

結論：

• 位元可以表示的有號數範圍為
• 位元可以表示的無號數範圍為
• 位元的同個二進位值所表示的有號數 和無號數 滿足
• 和最小整數取二補數後不變
• 位元二進位值 的二補數是

大數運算

事實上所有整數進位制都可以套用類似二補數的規則， 進位制 位數可以用的數字有 ，如果 是偶數，可以和二進位一樣，非負整數和負數各一半，表示範圍是 ；奇數的話，則是 0 給 0、剩下正負數各分一半，表示範圍是 。這樣的話可以保證 表示的數一定是 表示的數的相反數，或是等於 。

這可以幹嘛呢？就是大數運算啦，以前大數運算還要多寫減法，現在只要寫加法就夠了！算 的方法很簡單， 就是每一位都是 的 位數字，減去 再把 1 加回去就好了。

浮點數

會存整數之後我們也要存小數，我們會用一種叫浮點數的東西來存它。用來規定浮點數表示方式的標準叫 IEEE 754，大部分程式語言都會按照這個標準。

浮點數是用類似科學記號的方式來儲存，只是換成二進位而已。用來儲存一個浮點數的記憶體由高位（左）到低位（右）被分成三段： - 符號位，只佔一個位元，0 表示此數為正，1 表示此數為負。 - 指數域，實際表示的值是指數域儲存的值減去指數偏移量， 位指數域的偏移量是 。 - 小數域，表示一個介於 的小數，因為我們知道這個小數的個位數字是 ，這也是唯一在小數點前的數字，所以不需要儲存它，因此這裡只儲存小數點後的位數。

若指數域所表示的指數值是 ，而小數域表示的值是 ，那麼這個浮點數是： 至於是正或負，依符號位而定。並且 。

注意到負指數不是用二補數表示，而是減去指數偏移量。若指數偏移量是 ，且指數域有 個位元，則可表示的指數範圍是 ，至於 和 被用作特殊用途。

為小數域的長度是有限的，但小數有無限小數，無限小數中又有循環小數和無理數，因此會發生不精確的問題，造成計算和判斷上的錯誤，遇到這種狀況有這幾種辦法： - 盡量不要用到小數，需要做運算的話，如果不需要做到太多難做的操作（例如乘法就是很簡單的操作），可以先用分子分母分開存的方式來計算，要輸出的時候再換成小數就好。 - 判斷一個浮點數是否等於一個值的時候，允許一個誤差範圍（相差小於一個極小的數），例如：

1
2

double a = /*...*/;
if(a == 0){/*...*/}

1
2

double a = /*...*/;
if(fabs(a - 0) < 1e-9){/*...*/}

因為浮點數利用科學計號的方式儲存一個數，因此它除了可以表示分數以外，也可以表示一個極大的整數。

以下是 C++ 常見的浮點數型態，注意 double 的有效位數並不比 long long 來得長。

特殊值

前面有提到當 位指數域的指數偏移量是 時， 和 用於表示特殊值，而特殊值如下：

零與負零

指數為 的浮點數，符號位為正表示 ，為負則為 。因為一般小數域只儲存小數點後的位數，也就是自動默認小數點前有一個 ，因此 這個數字必須要用特殊值來存。至於正零跟負零唯一的差別在於負零輸出的時候會有負號，把負數一直除以超大數字就會變成 -0，例如 -1 / 1e200 / 1e200，不過比較的時候是不會出事的。

正負無窮

指數為 ，小數域為 0，符號位為正表示正無窮，為負表示負無窮，需要它的話，在 C++ 中可以用 INFINITY 來得到，它在 math.h 裡面，只是在競程上沒啥用途，頂多就是除以 會出現無窮，可以幫你 debug。

NaN

Not a Number 的縮寫，指數為 ，小數域不是 0，在反三角函數丟一些超出定義域的數字時會跑出這東西。

黑科技

有兩個很大的型態叫 __int128 和 long double，前者是 128 位元整數，可以存到大約 的整數，在運算過程會溢位的時候很有用，不過 Windows 不能用，還有沒有內建輸入輸出，所以需要的話你可以自己寫，或是輸入輸出不超過 long long 範圍的話，也可以用 long long 輸入輸出，再轉過來或轉過去。

至於 long double 是一個非標準的浮點數，通常有 80 位元，指數域 15 位、小數域 64 位，也就是說它可以不失任何精度地存下 long long 範圍內的數字。既然它是非標準的東西，就代表它實際長怎樣依編譯器而定。它可以在 Windows 用、可以輸入輸出，可以當一般的浮點數型態用。