WIWIHO 的競程筆記

向量應用

三點共線

有三個點 、、，我們想知道這三個點是否共線，顯而易見，隨便選一個點，作指向另外兩個點的向量，這兩個向量所夾的平行四邊形面積應該要是 ，所以，假設我們選的點是 ： 

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template<typename T>
bool collinearity(pair<T, T> p1, pair<T, T> p2, pair<T, T> p3){
    return cross(p1, p2) * cross(p1, p3) == 0;
}

點是否在線段上

有三個點 、 和 ，我們想知道 是否在 上，顯然三個點必須共線，所以首要條件是：

在確定共線後，我們還不能確定 是否在 上，所以我們還要判斷 、 是否在 的兩側，這時可以用內積： 的狀況會發生在 是 或 的時候。

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template<typename T>
bool inLine(pair<T, T> a, pair<T, T> b, pair<T, T> p){
    return collinearity(a, b, p) && dot(a - p, b - p) <= 0;
}

線段相交

有四個點 、、、，請檢查線段 是否和線段 相交。

分成幾種情況：

  1. 交點不是任一線段的端點
  2. 交點是其中一線段的端點或兩個線段的端點
  3. 兩個線段重疊
  4. 兩線段不相交且兩線段不共線
  5. 兩線段不相交但兩線段共線

先講最間單的，交點不是任一線段的端點：

很顯然地，如果 與 相交，那麼點 、 會分別在 的兩側，而點 、 也會分別落在 的兩側。要判斷方向，外積就派上用場了： 這兩個條件都符合，就表示兩線段相交且交點不是任一線段的端點。

如果 、 其中一點在 上，那麼 和 其中一個應該要是 ，但是不能簡單地用 來判斷，因為會有其中一點和點 、 共線但沒有交點的狀況，因此最好的方式是判斷有沒有哪個端點落在另一個線段上，這樣可以解決剩下的狀況。

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template<typename T>
bool intersect(pair<T, T> a, pair<T, T> b, pair<T, T> c, pair<T, T> d){
    return (cross(b - a, c - a) * cross(b - a, d - a) < 0 && cross(d - c, a - c) * cross(d - c, b - c) < 0)
            || inLine(a, b, c) || inLine(a, b, d) || inLine(c, d, a) || inLine(c, d, b);
}

線段交點

在知道兩個線段相交後，可能還要進一步求交點（記得先把四點共線，也就是兩線段重疊的狀況判掉）。

是兩線段交點，先令 ， 是一個純量，接著我們知道 ，而 、、 三點共線，因此：

把 求出來後， 就是 了。

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template<typename T>
pair<T, T> intersection(pair<T, T> a, pair<T, T> b, pair<T, T> c, pair<T, T> d){
    assert(intersect(a, b, c, d));
    return a + cross(a - c, d - c) * (b - a) / cross(d - c, b - a);
}

凸多邊形包含測試

給一個凸多邊形和一個點，問這個點有沒有在這個凸多邊形裡。

先讓問題簡單一些：只考慮三角形就好。令三角形三個點為 、 和 ，先選定 ，接著作向量 、，如果點 在這個三角形內（邊上也算），那麼應該會滿足這個條件：

也就是說，由 的方向往 和 轉，應該要是不同向。而如果 在 或 上，則上面那個式子會等於 。

不過會滿足上面那個式子的 範圍其實是下圖紅色部分，等於 的話， 會在紅色邊上：

但如果選定三個點都做一次這個判定，上述那樣的範圍聯集後就會恰好是這個三角形的範圍了：

如果滿足 ，那 會在紅色區塊，等於 是在紅色區塊邊界上；
如果滿足 ，那 會在綠色區塊，等於 是在綠色區塊邊界上；
如果滿足 ，那 會在藍色區塊，等於 是在藍色區塊邊界上。

從圖上可以看出來，滿足以上那三個式的地方只有三角形內而已。如果以上有任何一式等於 ，那麼 會在這個三角形邊上。

把這個想法放到凸多邊形上，會發現：只要這個凸多邊形的每一頂點 和它相鄰的兩個頂點 和 都滿足 （相同地，等於 就表示在邊界上），那麼 就會在這個凸多邊形內。

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template<typename T>
T inPolygon(vector<pair<T, T>> polygon, pair<T, T> p){
    for(int i = 0; i < polygon.size(); i++)
        if(cross(p - polygon[i], polygon[(i - 1 + polygon.size()) % polygon.size()] - polygon[i]) *
           cross(p - polygon[i], polygon[(i + 1) % polygon.size()] - polygon[i]) > 0)
            return false;
    return true;
}

三角形面積

給一個三角形 ，求此三角形面積。

這有兩種常見作法，第一種是用 Heron's formula（、、 是三邊邊長）：

不過要這麼做，就得先把邊長算出來，開根號的過程中也很有可能出現誤差（當然如果題目給的是邊長而非頂點座標就只能這樣做）。

用向量的作法是，還記得外積的絕對值等同於兩向量夾的平形四邊形面積嗎？平行四邊形面積的一半就是三角形面積了，所以這樣就可以得到三角形面積： 

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template<typename T>
T triangleArea(pair<T, T> a, pair<T, T> b, pair<T, T> c){
    return abs(cross(b - a, c - a));
}

多邊形面積

給一個 邊形 （頂點按逆時針排序），求此多邊形面積。

要算多邊形面積，最直觀的方式就是把多邊形切成一堆三角形，這樣面積會好算很多，最簡單的作法是選一個共同頂點，然後以每兩個相鄰頂點為另外兩個點作三角形。在做這件事之前，得先選一個點作這些三角形的共同頂點，不過共同頂點是哪個點其實無所謂，因為外積的結果是「有向」的，只要將頂點逆時針排序，再選隨便一個共同頂點 ，那麼這個多邊形的面積就是（令 ）：

舉例來說，以原點為共同頂點，下圖中紅色部分的面積是負的，而藍色是正的（注意有重疊）：

不管共同頂點在哪裡，都可以用這個方法算出正確的面積。

這個作法有個名字，叫測量師公式：

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template<typename T>
T area(vector<pair<T, T>> p){
    T ans = 0;
    for(int i = 0; i < p.size(); i++) ans += cross(p[i], p[(i + 1) % p.size()]);
    return ans / 2;
}

練習題

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WiwiHo
2024-03-31
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