進位制

平常我們用的數字系統是十進位制的，而計算機使用的是二進位制，而時、分、秒這樣的時間單位，用的是六十進位制……，這裡是進位制的轉換和一些性質。

接下來我會用 這樣的方式來表示括號中的數字 是用 進位制表示的，例如 表示十進位的 ， 表示十六進位的 ，也就是十進位的 。

基本轉換

一個十進位的數字 （ 表示一個位數）可以表示為： 舉例來說，可以表示為：

相同的，非整數的十進位數字 可以表示為： 也就是

而 進位制的數字 表示的值就是：

舉例來說 轉換為十進位會是： 而 轉換為十進位會是：

浮點數精確性

在算十進位除法的時候，經常會出現循環小數，例如： 仔細看一下，，由此可知，有些在十進位會出現循環小數的數值，在其他進位制可能就不會有循環小數的狀況，反過來也一樣，在十進位看起來很簡單的值，在其他進位制可能會是很複雜的循環小數，更重要的是，二進位很容易發生這種狀況： 這會導致一個很討厭的結果，在儲存浮點數時，只能儲存有限的位數，因此有小數時很容易發生不精準的狀況，在整數與浮點數會介紹更多。

進位制的互相轉換

進位的每一位範圍是 ，這恰好跟二進位的 個 bit 能表示的範圍一樣，因此，在進行 進位的互相轉換時，可以先轉成二進位。

舉例來說， 要轉換為四進位，那麼我們可以先轉成二進位，以 3 個 bit 表示八進位下的一個位數：

接下來，用 2 個 bit 表示四進位下的一個位數：

我們得出

事實上， 進位的一個位數都可以用 進位的 個位數去表示，因為 進位的每一位數範圍都是 ， 進位的 個位數能表示的範圍恰好也是這樣。

進位制的互轉

當一個數字乘以 時，它在 進位下的小數點會右移一位；而除以 時，它在 進位下的小數點會左移一位；對整數部分 時，可以得到它的個位數。

這是一種常見的的十進位轉二進位的方法：有一個數字 ，整數部分是 ，小數部分是 ，將 不斷除以 並向下取整，直到 為止，在這個過程中得到的餘數，倒過來寫就會是 的二進位，例如：

然後我們可以得到 。

可以這麼做的原因是，每次取 時，我們會得到它在二進位下的個位數，接著把 除以 後， 在二進位下會右移一位，重複操作就可以依序得到從個位數開始往左的每一位數。

接著是小數部分 ，將 不斷乘以 ，記錄它的整數部分後，把整數部分扣掉，再繼續重複這個動作，直到小數後沒東西為止，然後將記錄下來的整數部分依序寫下來就是 的二進位。例如：（箭頭後方是整數部分） 我們得到 。

可以這麼做是因為，每次乘以 時， 在二進位下的小數點後第一位會變成個位數，如此一來我們就可以依序得到小數點後第一位開始往右的位數。

至於 ，就把 和 加起來就好了，以上面的舉例來說，我們會得到 。

其實無論多少進位，都可以使用這種方式互相轉換，且這個方式無論在手動計算或寫程式計算都很方便，像這樣可以將 轉為 進位：

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#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
string convert(double n, int k){
    int a = (int) n;
    double b = n - a;
    string ans;
    while(a > 0){
        ans += a % k + '0';
        a /= k;
    }
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    if(b == 0) return ans;
    ans += '.';
    while(b > 0){
        b *= k;
        ans += (int)b + '0';
        b -= (int)b;
    }
    return ans;
}

需要注意的是，有可能會遇到某進位制無法精確表示的狀況（見上方的浮點數精確性），此時在 while(b > 0) 這個迴圈就會卡住，例如 convert(0.375, 3) 就會發生這個狀況，可以加個位數限制之類的，至於手算時會比較容易注意到這個問題，就沒有太大影響。